Определение параметров светодиода, часть 3: нелинейная регрессия

И у черта, и у Бога

На одном, видать, счету

Ты, российская дорога,

Семь загибов на версту!

Из песни из т/ф "Гардемарины, вперед!"

В том случае, когда экспериментальные данные надо приблизить функцией, отличной от полинома, или же линейной комбинации функций, используется nlinfit, реализующая нелинейную регрессию, которая ищет параметры, дающие наименьшее среднеквадратичное отклонение от заданных точек. 

Основной принцип ее применения:

задать функцию в виде y=fun(параметры,переменная), например, как

    y=@fun(param,x) выражение для функции 

задать начальное приближение вектора переменных

    param0=[param0(1),param0(2), и так далее];

посчитать оптимизированные параметры

    param=nlinfit(вектор экспериментальных х, вектор экспериментальных y,fun,param0)

Примечание: при расчетах на GNU Octave для использования nlinfit надо сначала подгрузить пакет с функциями оптимизации (pkg load optim).

Пример соответствующей процедуры для фиттинга ВАХ светодиода, выраженной через функцию Ламберта:     

Определение параметров светодиода, часть 2: прояснение специфики реального диода

...а сову эту мы разъясним...

Цитата из повести М.А. Булгакова "Собачье сердце"

Для многих реальных полупроводниковых диодов их вольтамперная характеристика в полулогарифмических координатах не ложится на прямую (как следовало бы из формулы Шокли), так как они обладают еще и реактивным внутренним сопротивлением. 

Разъяснение соответствующей физики и уточненной процедуры фиттинга данных:

Графики, иллюстрирующие описанную выше в рукописном файле двухшаговую процедуру фиттинга и получившуюся аналитическую аппроксимамацию экспериментальных данных W-функцией Ламберта в обычных и полулогарифмических коодинатах (в MATLAB и GNU Octave вычисляется при помощи функции lambertw):

Примечание: при использовании GNU Octave, чтобы функция lambertw стала доступной, необходимо перед запуском программы загрузить пакет symbolic (pkg load symbolic); если он еще не установлен - то установить (pkg install symbolic).

Дополнительно почитать про свойства W-функции Ламберта:

• Corless R.M., Gonnet G.H., Hare D.E., Jeffrey D.J.,  Knuth, D. . (1996). On the Lambert W function. Advances in Computational Mathematics, 5 (1996) 329-359 [ссылка].
• Stewart S. A new elementary function for our curricula?. Australian Senior Mathematics Journal, 19 (2005) 8-26 [ссылка].
• Kesisoglou I., Singh G., Nikolaou M. The Lambert function should be in the engineering mathematical toolbox. Computers & chemical engineering, 148 (2021) 107259 [ссылка]

Специально в приложении к фотовольтаике:

• Nassar-Eddine I., Obbadi A., Errami Y., Agunaou M.  Parameter estimation of photovoltaic modules using iterative method and the Lambert W function: A comparative study. Energy Conversion and Management, 119 (2016) 37-48 [ссылка].

Практическое занятие: определение параметров светодиода, часть 1: выбор и предварительный анализ данных

 светить — 

            и никаких гвоздей!

Из стихотворения В.В. Маяковского

 Задание: 

• выбрать они какой-нибудь светодиод (выбранные должны быть разными у всех студентов в обоих подгруппах) на сайте OSRAM: https://ams-osram.com/products/leds; 
• на странице описания выбранного светодиода скачать файл "Datasheet", там найти график вольт-амперной характеристики прямого тока (IF от VF), оцифровать ее при помощи WebPlotDigitizer и построить соответствующий график (внешний вид графика должен совпадать с тем, который приведен в Datasheet; линии сетки добавляются командой grid on);
• Ориентируясь на уравнение Шокли для диода, построить регрессию оцифрованных данных (подсказка: для достаточно больших напряжений можно пренебречь вычитаемой единицей ).
• Проверить путем построения графика тока в полулогарифмических координатах, ложатся ли данные на прямую, если да - то они соответствуют формуле Шокли и можно непосредственно  найти величины тока насыщения и величины, обратной произведению коэффициента идеальности на тепловое напряжение, найденные значения параметров привести, сопроводив их величиной 95% доверительного интервала.
• Если данные не ложатся на прямую в полулогарифмических координатах - то диод далек от идеального, как работать в этом случае будет рассмотрено на следующем занятии.  

При оформлении графиков - не забывать подписать в заголовке, какой именно диод исследуется.

Практическое занятие: усекновение хвостов

На занятии обсуждались возникшие вопросы по прошлым практических занятиям и некоторые из тех, у кого по ним были хвосты, их исправляли (и даже кое-кто справился нормально). От остальных отчеты по практическим заданиям ожидаются быть присланными по электронной почте. Код и генерируемые иллюстрации физических процессов должны быть подробно откомментированы, чтобы было ясно, что происходит (по некоторым присланным я ответил на письма, какие уточнения нужны).  Присылать код, слизанный дословно у кого-либо из одногруппников - идея бессмысленная и ни к чему не приведет.

Полиномиальная регрессия: дисперсия параметров и доверительный интервал

 Верить в наше время нельзя никому. Порой даже самому себе. Мне - можно.

Из к/ф "Семнадцать мгновений весны"

На данном занятии будут рассматриваться ситуация реальных измерений, данные которых всегда имеют некоторый разброс. Основные современные требования к характеризации данных изложены в стандарте

• JCGM 100:2008 Evaluation of measurement data — Guide to the expression of uncertainty in measurement [ссылка]

 Более популярное изложение с примерами:

• Possolo A. Simple Guide for Evaluating and Expressing the Uncertainty of NIST Measurement Results. NIST, 2015 [ссылка]

Общее изложение простым языком соответствующих статистических концепций - можно посмотреть в учебнике

• Motulsky H. Intuitive Biostatistics. A Nonmathematical Guide to Statistical Thinking. Oxford University Press, 2017.

Практический пример, как это делается в простейшем случае в MATLAB/GNU Octave (исполнимая онлайн-версия - по ссылке):

Задание: используя данные обработки эксперимента Шера-Монтролла, полученные на прошлом занятии, оценить интервалы параметров, соответствующих степенной динамике релаксации, и построить соответствующие графики.

Практическое занятие: исследование данных эксперимента Шера-Монтролла

 ...какую-то загогулину, которая в этом храме науки именуется кривой.

    Из юморески А.И. Шальникова "Тут тебе не заседание поел и до свидания, семинар как таковой"

Задание: взять график, представленный на Fig. 5 в статье

• Scher, H., Montroll, E.W. Anomalous transit-time dispersion in amorphous solids. Physical Review B, 12 (1975), 2455-2477.

и сделать следующее:

• выбрать данные, соответствующие одному из экспериментов (то есть при конкретном заданном напряжении - соответствующие маркеры одного типа обозначены на легенде графика) и получить их численные значения при помощи WebPlotDigitizer (при калибровке осей принять во внимание, что график - в логарифмических координатах);
• построить графики соответствующих данных, используя те же маркеры и обозначения по осям (спецификацию конкретных данных указать в заголовке графика): один график в логарифмических координатах (чтобы визуально сравнить его схожесть со статейным), второй - в обычных (чтобы был наглядно виден характер зависимости релаксации от обычного времени);
• определить подходящие интервалы времени на начальном и конечном участках и проделать на них фит, соответствующий зависимости I/I(𝝉)~t^-𝞪;; найти численные значения обоих степенных индексов;
• построить полученные фитующие функции, наложив их на экспериментальный график (в обоих вариантах координат) и, указав найденные степенные индексы в легенде графика, убедиться, что модельная гладкая кривая действительно воспроизводит экспериментальные точки (если визуальное не воспроизводит - значит нужно уточнение интервала фита).

Выборка данных, обнаруженных в графическом виде и их интерполяция: на примере аномальной релаксации тока в фотокопире

Генри Морган встретил гигантских кальмаров в количестве равном Пи,

Что при его профессии не должно вызывать вопросов,

Но дело было на перешейке, практически в голой степи,

А еще у них внизу крутились такие большие колеса…

        Из стихотворения Елены Михайлик

На одном из предыдущих занятий была рассмотрена релаксация тока для заряженного конденсатора, замкнутого через сопротивление. В этом случае ток затухает как экспоненциальная функция от времени, что можно наглядно пронаблюдать, перестроив соответствующую зависимость в полулогарифмических координатах. 

Однако, существуют и более нетривиальные случаи - один из наиболее замечательных, мотивировавших бурное развитие теории аномальной диффузии и приложений дробных производных, был обнаружен экспериментально и опубликован в статье 

• Scher, H., Montroll, E.W. Anomalous transit-time dispersion in amorphous solids. Physical Review B, 12 (1975), 2455-2477.

Харви Шер (который работал как раз в исследовательском центре компании Xerox) и Эллиот Монтролл (из Рочестерском университетe) в эксперименте с фоточувствительными элементами копировального аппарата обнаружили следующее:

Чтобы убедиться, что экспериментальные точки следуют степенному закону, а в статье - только график, а не таблица, эти данные следует извлечь из графика, для чего можно воспользоваться программой WebPlotDigitizer:

С добытыми таким образом численными данными уже можно работать в MATLAB/GNU Octave (код, выполнимый онлайн, - по ссылке)